El cilindro,teoría y ejercicios resueltos.

Los cilindros son cuerpos geométricos que están formados por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
Un cilindro está formado por un rectángulo, que es la parte lateral del cilindro y por dos círculos, que son las dos bases del cilindro.

Al igual que en el cono, el área total de un cilindro se obtiene con la suma del área basal y el área lateral. En el cilindro tenemos 2 caras basales que son círculos congruentes y una cara lateral que es un rectángulo.

Elementos del cilindro.

-Las bases son dos círculos, perpendiculares al eje.
-La altura es la distancia entre las dos bases.
-El radio (r) es la longitud desde el eje hasta el extremo del cilindro. Corresponde con el radio de la base.


Área lateral, la base y total de un cilindro.

Se entiende "Área lateral de un cilindro" las paredes del cuerpo geométrico. Si imaginamos que estamos mirando un tubo el área lateral son las paredes del tubo. Así pues, para su cálculo se aplica la siguiente fórmula:

Área Lateral = 2(π.r.h)
Área de la base = 2(π. r2)

La superficie total de un cilindro, es la suma entre el área lateral y el área de sus dos círculos.

AT= 2(π.r.h) + 2(π . r2)


Ejemplo-1:

¿Cuál es el área total de un cilindro si su radio basal mide 10 cm y su altura mide 20 cm?

Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm
2 Π · 10 cm (20 cm + 10 cm) = 20 Π cm (30 cm) = 600 π cm²

Atotal = 600 π cm² = 600 x 3,14 = 1.884 cm²

Ejemplo-2:

Si observas la formula y sabes cómo obtener el área de un circulo, podrás notar que la parte final de la formula, 2πr², representa el área de los dos círculos, por lo tanto 2πrh nos da la parte de alrededor (verde). Veamos un ejemplo:


Siguiendo la formula, hay que sustituir valores

AT = 2πrh + 2πr²
AT = 2(3.14) (4) (7) + 2(3.14) (42)
AT = 175.84 + 100.48

AT = 276.32 inr²

El cilindro,teoría y ejercicios resueltos.

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Comparar dos radicales con indice Diferentes.

Comparar dos radicales es, saber diferenciar cual de los dos es mayor. En el siguiente ejemplo veremos de manera fácil y rápido como comparar dos radicales, teniendo en cuenta los artificios que se usaran para ellos.

Pasos para comparar

1-) Lo primero que haremos es, observar los indice que tienen cada raíz.

 

2-) Buscar el Minimo Comun Multiplo (mcm) de los indices señalados.

En lo particular me gusta obtener el mcm  de dos números, construyendo tablas de multiplicar.

El M.C.M de   5 y 3  lo consigo asi:

3-) Ya obtenido el mcm de los indice 3 y 5 que es 15, procedemos a convertir los radicales en una potencia.

4-) Luego colocamos mcm buscado, como numerador en cada exponente y dividirlo.

.

5-) Por ultimo las potencias que nos quedan, las comparamos para observar cual es mayor o menor, y si no esta conciente, cual de las dos es mayor, entonces resuelva las potencias para ver cual es mayor.

Si no entiende, entonces vea este video...

Comparar dos radicales con indice Diferentes.

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Propiedades de los radicales.

Un radical es una expresión de la forma, en la que n   y a   ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Expresión de un radical en forma de potencia

Como se indica con la igualdad de la raíz  , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación.

 Las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radiación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Las propiedades de la Radiación son las siguientes:

1- ) Raíz de un producto: La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.

     

Ej:  =  = 

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

2- ) Raíz de un cociente: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

 = 

Ejemplo

•  = 
• 
  

3- ) Raíz de una raíz: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

 = 

Ejemplo

•  = 
• 
  

4- ) Potencia de una raíz: Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

Ejemplo

si 3 y 4

 = 

5- ) Potencia de un producto: La raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

Propiedades de los radicales.

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Tabla de Verdad, ejercicios resueltos.

Una vez que hemos simbolizado un razonamiento; es decir, que hemos traducido el lenguaje natural al lenguaje formal, debemos comprobar si dicho razonamiento es válido o no. Para ello podemos servirnos de las tablas de verdad y de las deducciones lógicas.

Ahora vamos a ocuparnos de las tablas de verdad.

1) Partimos de que cada variable proposicional puede ser verdadera o falsa. V o F

2) Cuando tenemos más de una variable, las combinaciones de valores de verdad serán varias. Para saber cuántas combinaciones de valores de verdad podemos obtener, elevamos 2 al número de variables distintas que aparezcan. Colocamos dichos valores repartíéndolos por la mitad en la primera variable, por la mitad de esta en la siguiente, etc..

Ej  [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V          V

          V           F

           F          V

           F           F 

3) Resolvemos las tablas de verdad de las fórmulas no afectadas por el conector dominante. Se llama conector dominante al que separa las premisas de la conclusión.

Para ello tenemos que saber que:

a) El negador cambia el valor de verdad de la variable o fórmula a la que afecta. Si aplicamos esto a la fórmula que estamos resolviendo, tendríamos:

        [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V          V              F               F

          V           F             V               F

           F          V              F              V

           F           F             V              V

b) El conjuntor solo es verdadero cuando son verdaderas las dos variables o fórmulas que enlaza.

c) El disyuntor solo es falso cuando son falsas las dos variables o fórmulas que enlaza.

d) El condicional sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente  es falso.

e) El bicondicional es verdadero cuando antecedente y consecuente tienen el mismo valor de verdad y falso cuando antecedente y consecuente tienen distinto valor de verdad.

Ej. Si aplicamos estas reglas al ejemplo que tenemos entre manos, tendremos:

       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V    V      V            F                F

          V     F      F           V                F

           F    V      V           F               V

           F    V      F           V               V

Una vez resuelto el paréntesis, hago la tabla de verdad de la fórmula que está entre corchetes. Y así:

      [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V    V      V     F      F              F

          V     F      F     F      V              F

           F    V      V     F      F             V

           F    V      F     V      V             V

4) Resolvemos la tabla de verdad de la fórmula afectada por el conector dominante. Y así:

       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]        -->    ¬ p 

       

          V    V      V     F      F        V        F

          V     F      F     F      V        V        F

           F    V      V     F      F        V       V

           F    V      F     V      V        V       V

Puede ocurrir que el resultado final sea siempre verdadero, como en este ejemplo, y eso se llama una TAUTOLOGÍA;que el resultado final sea a veces verdadero y a veces falso, y eso se llama INDETERMINACIÓN; y, por último, que todos los resultados sean falsos y eso se llama una contradicción.

Ahora practica tú con las fórmulas siguientes:

[(p V q) ^ ( p--> r) ^ ¬ r] --> q

[ ((p ^ ¬ q) ^ ( q --> r)) ^ ¬ r] --> p

Fuente: http://filobloguera.blogspot.com

También puedes ver este vídeo...

Tabla de Verdad, ejercicios resueltos.

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